*** Deux dés atypiques

1. Un dé cubique équilibré  \(\text A\)  porte inscrits sur quatre de ses faces les nombres \(-2 \; ; \; 1 \; ; \; 1 \; ; \; 1 \;\) . On inscrit sur l'une des deux autres faces un nombre entier relatif et, sur l'autre, le double de son opposé.
Une expérience aléatoire consiste à tirer une fois ce dé.
Soit  \(\text X\)  le nombre obtenu. On définit ainsi une variable aléatoire.
    a. Dans cette question, on inscrit \(1\)  sur l'une des deux faces à compléter. Déterminer la loi de probabilité de  \(X\) .
    b. De façon général, soit  \(m\)  et  \(-2m\)  les nombres inscrits sur les deux faces manquantes. Déterminer la loi de probabilité de \(\text X\) , en fonction de  \(n\) .
    c. Déterminer \(m\)  pour que l'espérance mathématiques de \(\text X\)  soit nulle. Dans toute la suite de l'exercice, on donnera à \(m\)  cette valeur.
    d. On lance \(\text A\)  six fois de suite. Déterminer la probabilité que, lors d'un lancer, le résultat soit positif. 

2. Soit \(\text B\)  un autre dé cubique dont les faces portent les nombres : \(-3 \; ; \; -2 \; ; \; -1 \; ; \; 1 \; ; \; 2 \; ; \; 3\)  de telle sorte que les probabilités d'apparition respectives de ces nombres soient les six termes consécutifs d'une suite géométrique \(\left(v_n\right)_{n \in \mathbb N}\)  de premier terme le réel \(v_0\)  et de raison \(\dfrac{1}{2}\) .
    a. Démontrer que  \(v_0 = \dfrac{32}{63}\) .
    b. Déterminer la probabilité d'apparition de chacune des faces de  \(\text B\) .

3. On lance simultanément les dés \(\text A\)  et \(\text B\) .
    a. Quelle est la probabilité pour que la somme des nombres obtenus soit égale à \(-2\)  ?
    b. On lance simultanément les dés \(\text A\)  et \(\text B\) . Quelle est la probabilité pour que la somme des nombres obtenus soit égale à \(-1\)  ?